이차방정식, 판별식, 이차방적식의 근과 계수와의 관계, 이차방정식의 인수분해, 이차방정식의 켤레근, 이차방정식의 실근의 부호

수학에서, 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

비에트 정리 또는 근과 계수와의 관계는 다항 방정식의 근에 대한 기본 대칭 다항식과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

삼차함수의 근과 계수와의 관계

먼저 두 근이 모두 양수일 조건부터 살펴볼게요.

우선 허수는 양수도 아니고 음수도 아니므로 제외해야합니다.

그러므로 우선 D≥0(D가 판별식인 거 아시죠?)이고요,

그리고 양수인 두 근이 서로 더해지면 무조건 양수가 되겠죠?

그러니까 두 근을 α,β라고 하면 α+β>0이 두번째 조건이 되겠습니다.

마지막으로 양수인 두 근을 서로 곱하면 무조건 양수가 될 것이므로

αβ>0, 이것이 마지막 조건입니다.

그러니까 이차방정식의 두 근이 모두 양수일 조건은 D≥0, α+β>0, αβ>0

이 되겠습니다.

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그리고 두 번째, 두 근이 모두 음수일 조건을 살펴보면요,

이것도 두 근이 모두 허수면 양수, 음수 판별이 되지 않으므로

우선 D≥0이 첫번째 조건이 되겠고요,

음수인 두 근이 서로 더해지면 무조건 음수가 되므로

α+β<0이 두번째 조건이고요,

음수인 두 근이 서로 곱해지면 양수가 되므로

αβ>0이 세변째 조건이 되겠습니다.

그러므로 두 근이 모두 음수일 조건은 D≥0, α+β<0, αβ>0


마지막으로, 두 근의 부호가 다른 경우의 조건을 살펴보면

두 근의 합은 양수가 될 수도 있고 음수가 될 수도 있어 확실치 않으니

여기서는 사용하지 않고요,

두 근의 곱은 부호가 서로 다른 경우 무조건 음수가 되므로

αβ<0만이 조건이 되겠습니다.

판별식은 왜 여기서 사용하지 않느냐고요?

판별식의 모양을 살펴봅시다.

b²-4ac.

그런데 위에서 두 근의 부호가 서로 다를 경우

두 근의 곱은 무조건 음수라고 했죠?

이 이차방정식을 ax²+bx+c=0이라고 하면

두 근의 곱 αβ는 c/a이므로

여기서 c/a<0

그렇다면 c와 a는 서로 부호가 다르다는 뜻이겠죠?

그럼 아래가 성립합니다.

ac<0

이 값을 위의 판별식에 집어넣어보면,

b²은 제곱의 형태이므로 항상 양수이고, ac는 음수이므로

4ac도 음수이겠죠?

그렇다면 (양수)-(음수)꼴이 되겠네요,

이거 뭔가요,

항상 양수가 되어버리네요.

우리가 위에서 판별식의 조건을 붙였던 것은

D≥0 얻기 위해서였는데,

여기서는 무조건 D>0가 되어버리니까

굳이 조건을 붙일 필요가 없어지는 거죠.

그래서 판별식 조건을 붙이지 않는 겁니다.

그러므로 두 근의 부호가 서로 다를 조건은 αβ<0


그러니까 종합해 보면, 두 근이 모두 양수이거나 모두 음수이면

판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱의 부호를 조사하면 되고,

두 근의 부호가 서로 다를 때는 두 근의 곱의 부호만 조사하면 되는 것입니다.